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(2) $\sin^{-1}$ の逆は $f\colon[-\pi/2,\pi/2]\to[-1,1]$, $f(x)=\sin x$. $y=\sin^{-1}x$ とおくと、$x=\sin y$, $y\in[-pi/2,\pi/2]$ となるので、 $\cos y\ge 0$ に注意して、

$$\frac{\D x}{\D y}=\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}.$$

ゆえに

$$\left(\sin^{-1} x\right)'=\frac{\D y}{\D x}= \left(\frac{\D x}{\D y}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

(3) (これは授業中に説明した。二通りの解法を示した。) (2) と同様にして $(\cos^{-1}x)'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ が示せる。

$$\frac{\D}{\D x}\left(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x\right) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$$

となるので、

$$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\sin^{-1}0+\cos^{-1}0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

なお、$\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ともに定義域は $[-1,1]$ で、 実は任意の $x\in [-1,1]$ について成り立つ。