1.3 計算練習: $ f$ の Fourier 係数

$ f$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $ \vert x\vert$ は偶関数であるから、$ b_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $ \vert x\vert\sin nx$ は奇関数であるから $ [-\pi,\pi]$ で積分すると 0)。

$ \vert x\vert\cos nx$ は偶関数で、$ x>0$ では $ x\cos nx$ に等しいので、

$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\;\Dx =\frac{1}{\pi}\int...
...i \left\vert x\right\vert\cos nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos nx\;\Dx.$    

部分積分をすると良さそうだが、$ n$ の値で場合分けが必要である。

$ n=0$ のときは、 $ \cos nx=\cos 0=1$ であるから

$\displaystyle a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\;\Dx
=\frac{2}{\pi}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\pi.
$

$ n\ne 0$ のときは

$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\left(\frac{\sin nx}{n}\right)'\;\Dx ...
...}{n}\Dx \right\} =\frac{2}{\pi} \left( 0-\int_0^\pi\frac{\sin nx}{n}\Dx \right)$    
  $\displaystyle =\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]_{0}^\pi =\frac{2}{...
...text{($n$ は奇数)}  [1ex] 0& \text{($n$ は偶数)}. \end{array} \right.$    

ゆえに $ f$ の Fourier級数は

$\displaystyle S[f](x)=\frac{\pi}{2}
-\sum_{n\ge 1\atop \text{$n$は偶数}}\df...
...t(\frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos
3x}{3^2}
+\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right).
$



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桂田 祐史