1.2 $ g$ の Fourier 係数

g[x_]:=Sign[x]
b[n_]:=Simplify[1/Pi Integrate[g[x]Sin[n x],{x,-Pi,Pi}],Element[n,Integers]]
Table[b[n],{n,1,10}]
$ g$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $ \sign x$ は奇関数であるから、$ a_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $ \sign x\cos nx$ は奇関数であるから $ [-\pi,\pi]$ で積分すると 0 )。

$ \sign x\sin nx$ は偶関数で、$ x>0$ では $ \sin nx$ に等しいので、

    $\displaystyle b_n$ $\displaystyle =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\;\Dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \sign x\sin nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sin nx\;\Dx$
      $\displaystyle =-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi =-\frac{2}{n\...
...$n$\ が偶数)}\\ \dfrac{4}{n\pi}& \text{($n$\ が奇数)} \end{array} \right.$

ゆえに

$\displaystyle S[g](x)=\frac{4}{\pi}
\left(
\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots
\right)
$

桂田 祐史
2018-08-13