1.1 $f$ の Fourier 係数

$f$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $\vert x\vert$ は偶関数であるから、$b_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $\vert x\vert\sin nx$ は奇関数であるから $[-\pi,\pi]$ で積分すると 0 )。

$\vert x\vert\cos nx$ は偶関数で、$x>0$ では $x\cos nx$ に等しいので、

$$a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\;\Dx =\frac{1}{\pi}\int... ...i \left\vert x\right\vert\cos nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos nx\;\Dx.$$

部分積分をすると良さそうだが、$n$ の値で場合分けが必要である。

$n=0$ のときは、

$$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\;\Dx =\frac{2}{\pi}\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^\pi=\pi.$$

$n\ne 0$ のときは

$$a_n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\left(\frac{\sin nx}{n}\right)'\;\Dx ... ...}{n}\Dx \right\} =\frac{2}{\pi} \left( 0-\int_0^\pi\frac{\sin nx}{n}\Dx \right)$$

$$=\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n^2}\right]_{0}^\pi =\frac{2}{... ...text{($n$\ は奇数)} \\ [1ex] 0& \text{($n$\ は偶数)}. \end{array} \right.$$

ゆえに $f$ の Fourier級数は

$$S[f](x)=\frac{\pi}{2} -\sum_{n\ge 1\atop \text{$n$は偶数}}\df... ...t(\frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos 3x}{3^2} +\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right).$$

$f$ のグラフを描く

f[x_]:=Abs[x]
fp[x_]:=Abs[Mod[x,2Pi,-Pi]]
Plot[fp[x],{x,-3Pi,3Pi}]

$f$ のグラフを描くときのことを考えて、 fp[] では、 Mod[] を用いて周期 $2\pi$ であるようにしたが、 単に積分を計算するためだけならば、f[x_]:=Abs[x] で十分で、 その方が計算速度が速い。

$a_n$ が求まる？

1/Pi Integrate[f[x]Cos[n x],{x,-Pi,Pi}]

$\cos n\pi$ , $\sin n\pi$ というのが出て来る。 $n$ が整数と仮定していないので、簡単にならない。 $n$ が $\mathbb{Z}$ (the set of all integers) の要素 (element) であることを Element[n,Integers] と教えてみよう。

a[n_]:=Simplify[1/Pi Integrate[f[x]Cos[n x],{x,-Pi,Pi}],Element[n,Integers]]
a[n]
Table[a[n],{n,0,10}]

これで、 $\dfrac{2\left(-1+(-1)^n\right)}{n^2\pi}$ が得られる。