0.0.0.7 3.

次の重複積分の積分順序を交換せよ。

(1) $\dsp\int_0^2\left(\int_0^{2x}f(x,y)\;\Dy\right)\Dx$      (2) $\dsp\int_0^2\left(\int_0^{y^2}f(x,y)\;\Dx\right)\Dy$      (3) $I=\dsp\int_0^1\left(\int_{y/2}^{y}f(x,y)\;\Dx\right)\Dy$

(1) $\Omega=\{(x,y); 0\le x\le 2,\ 0\le y\le 2x\} =\{(x,y);0\le y\le 4,\ \dfrac{y}{2}\le x\le 2\}$ であるから、

$$\int_0^2\left(\int_0^{2x}f(x,y)\;\Dy\right)\Dx =\int_0^4\left(\int_{y/2}^2f(x,y)\;\Dx\right)\Dy.$$

(2) $\Omega=\{(x,y);0\le x\le 2,\ 0\le x\le y^2\} =\{(x,y); 0\le x\le 4,\ \sqrt{x}\le y\le 2\}$ であるから、

$$\int_0^2\left(\int_0^{y^2}f(x,y)\;\Dx\right)\Dy = \int_0^4\left(\int_{\sqrt{x}}^2f(x,y)\Dy\right)\Dx.$$

(3) $\Omega=\{(x,y);0\le y\le 1,\ \dfrac{y}{2}\le x\le y\} =\{(x,y); 0\le x\le 1,\ x\le y\le \varphi_2(x)\}$, ただし $\varphi_2(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x & \mbox{($0\le x\le 1/2$)} \\ 1 & \mbox{($1/2<x\le 1$)} \end{array}\right.$ であるから、

$$I =\int_0^1\left(\int_x^{\varphi_2(x)}f(x,y)\;\Dy\right)\Dx =\int... ..._{x}^{2x}f(x,y)\Dy\right)\Dx+ \int_{1/2}^1\left(\int_x^1f(x,y)\;\Dy\right)\Dx.$$