6 流線を描くために: 流れ関数 $\psi$を求める

これは少し難しいので、レポートの必要条件とはしない。 しかし流線があると流れの様子がよく分かるので、描く価値は高い。 以下は頑張ろうという人向けのヒントである。 講義で

$$\psi(\bm{x}) =\int_{C_{\bm{x}}}\psi_x\;\Dx+\psi_y\;\Dy =\int_{C... ... \end{pmatrix} \cdot \bm{t}\;\D s \quad\text{($\bm{x}\in\overline{\Omega}$)}$$

という式を紹介した ( $C_{\bm{x}}$ は定点 $\bm{a}$ と $\bm{x}$ を結ぶ曲線)。 領域が Jordan領域 (1つの単純閉曲線で囲まれた領域) であれば、 $\bm{x}$ が境界上の点である場合、 定点 $\bm{a}$ と $C_{\bm{x}}$ を境界上に選ぶことで、 ( $\begin{pmatrix}-v u \end{pmatrix}\cdot\bm{t}=\bm{v}\cdot\bm{n}$. また境界上での $\bm{v}\cdot\bm{n}=V_n$ は知っていると仮定しているので)

$$\psi(\bm{x}) =\int_{C_{\bm{x}}}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s =\int_{C_{\bm{x}}}V_n\;\D s$$   ( $\bm{x}\in\rd\Omega$)$$.$$

これから、境界上の点 $\bm{x}$ における $\psi$ の値 $g(\bm{x}) :=\psi(\bm{x})$ ( $x\in\rd\Omega$) が得られる。それを用いて

$$\Laplacian \psi=0$$   (in $\Omega$)$$,\quad \psi(\bm{x})=g(\bm{x})$$   (on $\rd\Omega$)

という Laplace 方程式の Dirichlet 境界値問題を解くことで流れ関数 $\psi$ が得られる。