6.3.2 正規化条件

単連結領域 $\Omega\subsetneqq\mathbb{C}$ が与えられたとき、 $\Omega$ の写像関数は一意的には定まらない。 定めるためには追加の条件が必要だが、次のものが有名である。

(6.3) を正規化条件と呼ぶ。

証明. (あらすじ) $\varphi_1$, $\varphi_2$ が条件を満たせば、 $\varphi:=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ は $D_1$ から $D_1$ への双正則写像で、 $\varphi(0)=\varphi_2(\varphi_1^{-1}(0))=\varphi_2(z_0)=0$, $\varphi'(0)=\varphi_2'(z_0)\cdot\frac{1}{\varphi_1'(z_0)}>0$. この条件を満たす $\varphi$ は恒等写像に限られるので、 $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}=\mathrm{id}_{D_1}$。 ゆえに $\varphi_2=\varphi_1$. $\qedsymbol$ $\qedsymbol$