6.3.1 双正則, Riemannの写像定理

関数論で基本的な Riemann の写像定理を説明する (1次分数変換のとき、一瞬顔を出した)。

$\begin{jdefinition}[双正則] $U$ と $V$ は $\CC$ の領域, $\varphi\col... ...射かつ $\varphi^{-1}$ も正則であることをいう。 \end{jdefinition}$

数学では、しばしば同型写像, 同型という概念が登場する。双正則写像は関数論としての同型写像と言える。

$\begin{jtheorem}[Riemannの写像定理, 1851年] $\Omega$ は $\mathbb{C}$ �... ...hbb{C}\relmiddle\vert \vert z\vert<1\right\}$ が存在する。 \end{jtheorem}$

証明は省略する (例えば Ahlfors [1], 高橋 [2] を見よ)。

$\varphi$ のことを、領域 $\Omega$ の等角写像、あるいは領域 $\Omega$ の写像関数と呼ぶ。

いくつか簡単な形の領域の写像関数を、 1次分数変換で具体的に求めることができる (簡単なものしか紹介していない)。

$\mathbb{C}$ の単連結領域で $\mathbb{C}$ と異なるものは、関数論的には円盤領域と同型である、ということになる。

$\begin{jcorollary} $\mathbb{C}$ 内の単連結領域で $\mathbb{C}$ とは異なるものは互いに同相 (位相同型) である。 \end{jcorollary}$

証明. $\Omega_1$ , $\Omega_2$ が $\mathbb{C}$ とは異なる $\mathbb{C}$ の単連結領域とすると、双正則写像 $\varphi_1\colon\Omega_1\to D(0;1)$ , $\varphi_2\colon\Omega_2\to D(0;1)$ が存在する。このとき $\varphi_2^{-1}\circ\varphi_1\colon \Omega_1\to\Omega_2$ は双正則である。特に同相写像であるので、 $\Omega_1$ と $\Omega_2$ は同相である。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

桂田祐史