注意

次の(1)が非常に重要である。 例年それを間違えてナンセンスなレポートを提出する人が少なくない。

(1)

$v_n:=\bm{v} \cdot\bm{n}$ は $\dsp\int_{\Gamma}v_n\;\D\sigma=0$ を満たしている必要がある。実際、Gaussの発散定理と非圧縮性の仮定から

$$\int_{\Gamma}v_n\;\D\sigma =\int_{\Gamma}\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D\sigma =\int_{\Omega}\Div\bm{v}\;\D\bm{x} =\int_{\Omega}0\;\D\bm{x}=0.$$

サンプルプログラムでは、 円盤領域 $\Omega=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\relmiddle\vert x^2+y^2<1\right\}$ なので $\bm{n}=\begin{pmatrix}x y \end{pmatrix}$ (ここは良く考えること). また一様流 $\bm{v}=\begin{pmatrix}1 2\end{pmatrix}$ であったので、

$$v_n=\bm{v}\cdot\bm{n} = \begin{pmatrix}1 2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x y\end{pmatrix}=x+2y$$

としてある。($\bm{v}$ が $\Omega$ で定数関数なので) $\Div\bm{v}=0$ であるから、 当然 $\dsp\int_{\Gamma}v_n\;\D\sigma=0$ も成り立つ。 (そうでない場合は、きちんと計算して $\dsp\int_{\Gamma}v_n\;\D\sigma=0$ が成り立つことを確かめる必要がある。)

(2)

湧き出しや吸い込み、点渦など、特異点が $\Omega$ 内にあるような問題は、 この方法では解くことが出来ない。

質問されたことへの回答

• 境界値 $v_n$ を、if を用いた場合分を含む関数としたいが、 FreeFem++ がプログラムを受け付けてくれません → 例えば

  (a)

  弱形式には複数の int1d() が指定できるので、 境界を分割して、 その各部分ごとに(場合分けを含まない)境界値を与えるようにプログラムを書く。

  (b)

  例えば (x>1 && y>0) のような式は、条件が成り立つならば $1$, 成り立たないならば0という値を持つので、ifを使わずに、 式だけで場合分けを含む関数が記述できる。