B..2.1 差分方程式

$\displaystyle h=\Delta x=\frac{1}{N}, \quad x_i=ih$   ( $ i=0,1,\cdots,N,N+1$)$\displaystyle ,$

(B.10)   $\displaystyle -\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}=f(x_i)$   ( $ i=1,2,\cdots,N$)$\displaystyle ,$
(B.11)   $\displaystyle u_0=\alpha,$
(B.12)   $\displaystyle \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2h}=\beta$

結果として次の連立1次方程式が得られる:

$\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & \bigzerou\\
-1 & 2 & -1 \\
& \d...
...begin{pmatrix}
\alpha \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
2\beta h
\end{pmatrix}.
$

あるいは係数行列を対称化して (両辺の最後の成分に $ 1/2$ をかけて)

$\displaystyle \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & \bigzerou \\
-1 & 2 & -1 \\
& \...
...\begin{pmatrix}
\alpha \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\beta h
\end{pmatrix}.
$

この係数行列は既約優対角行列なので、正則である。 ゆえに連立1次方程式は一意的な解を持つ。 また、この係数行列は、対角線とその両隣り以外は 0 とになっている、 いわゆる三重対角行列であり (連立1次方程式自体は三項方程式と呼ばれる)、 Gaussの消去法で効率的に($ O(N)$ の計算量で) 解くことが出来る。



桂田 祐史