B..2.1 差分方程式

$$h=\Delta x=\frac{1}{N}, \quad x_i=ih$$   ( $i=0,1,\cdots,N,N+1$)$$,$$

$$-\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}=f(x_i) i=1,2,\cdots,N ,$$ (B.10)

$$u_0=\alpha,$$ (B.11)

$$\frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2h}=\beta$$ (B.12)

結果として次の連立1次方程式が得られる:

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & \bigzerou\\ -1 & 2 & -1 \\ & \d... ...begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 2\beta h \end{pmatrix}.$$

あるいは係数行列を対称化して (両辺の最後の成分に $1/2$ をかけて)

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & \bigzerou \\ -1 & 2 & -1 \\ & \... ...\begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \beta h \end{pmatrix}.$$

この係数行列は既約優対角行列なので、正則である。 ゆえに連立１次方程式は一意的な解を持つ。 また、この係数行列は、対角線とその両隣り以外は 0 とになっている、 いわゆる三重対角行列であり (連立１次方程式自体は三項方程式と呼ばれる)、 Gaussの消去法で効率的に($O(N)$ の計算量で) 解くことが出来る。