B..1 基本的な考え方

差分法 (finite difference method, FDM) では、 次の2つの考え方を用いる。

常微分方程式の初期値問題に対する Euler 法, Runge-Kutta 法などを学んだことがあれば、理解しやすいであろう。

(B.1) $\displaystyle f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+O(h)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
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(B.2) $\displaystyle f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+O(h)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
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(B.3) $\displaystyle f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
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(B.4) $\displaystyle f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+O(h^2)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
$

(B.5) $\displaystyle f'''(x)=\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3} +O(h^2)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
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(B.6) $\displaystyle f''''(x)=\frac{f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x,y)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^4}+O(h^2)$   ($ h\to 0$)$\displaystyle .
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多変数関数の偏導関数はこれらを適当に組み合わせて近似する。 例えば

$\displaystyle \Laplacian u(x,y)
=\frac{u(x+h_x,y)-2u(x,y)+u(x-h_x,y)}{h_x^2}
+\frac{u(x,y+h_y)-2u(x,y)+u(x,y-h_y)}{h_y^2}
+O(h_x^2+h_y^2).
$



桂田 祐史