5.4 誤差の特性関数の例 (2) 無限区間の台形公式

$$I=\int_{-\infty}^\infty f(x)\;\Dx$$

に対する台形公式

$$I_h=h\sum_{n=-\infty}^\infty f(n h)$$

の場合、$x_n=n h$, $w_n=h$ ( $n\in\mathbb{Z}$) だから、

$$\Psi_h(z)\stackrel{\text{?}}{=}\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{h}{z-nh}.$$

実はこれは残念ながら収束しない。しかし次のように小修正すれば良い。

$$\Psi_h(z)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{h}{z-nh} =\pi\cot\frac{\pi z}{h}.$$

一方、 $\mathit{\Psi}(z)$ はどうすべきか？ 有限の $(a,b)$ の場合の $\Log\dfrac{z-a} {z-b}$ の適当な極限として

$$\mathit{\Psi}(z) =\lim_{R\to\infty}\Log\frac{z+R}{z-R} =\left\{... ...& \text{($\MyIm z>0$)} \\ i \pi & \text{($\MyIm z<0$)}. \end{array} \right.$$

(最後の等式の証明も手頃な問題かな？と思ったので残す。 余談 と見比べると良い。) 実際にこの $\mathit{\Phi}$ について

$$I=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\mathit{\Psi}(z)f(z)\;\Dz$$

が成り立つことは直接簡単に証明できる。

これから

$$\Delta I_h:=I-I_h=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\Phi_h(z)f(z)\;\Dz, \quad \Phi_h(z):=\Psi(z)-\Psi_h(z).$$

$\left\vert\Phi_h(z)\right\vert$ の等高線を見よう。

図 8: $\mathbb{R}$ 上の積分に対する台形公式 $I_h$ ($h=1/2,1/4$) の誤差の特性関数 の絶対値

ぞっとするほど小さいことが見て取れる。

図 9: 森 [13], $\mathbb{R}$ 上の積分に対する台形公式 $I_h$ ($h=0.1$) の誤差の特性関数の絶対値 … 多分誤植で、実際は $h=1$ の場合の図だと思われる。