5.2 有理関数の積分への応用

$f$ が簡単な場合は、(36) を用いて、 $I$ が留数の計算で求まる。

実際、$f(x)$ が有理関数で ( $f(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}$, $P(x),Q(x)\in\mathbb{R}[x]$, ( $\forall x\in[a,b]$ $f(x)\ne 0$))、分母の次数が分子の次数よりも高いならば、

$$I=-\sum_{j=1}^m \Res\left(f\varPsi;c_j\right)$$

が成り立つ。 ここで $c_1$, $\cdots$, $c_m$ は $f$ の分母のすべての零点を表す。 (証明は準備中 -- 「数値積分ノート」[1] にある。) $\qedsymbol$