6.3 近似等角写像を求めるための天野の方法

天野要は、 §5.4 で述べた 等角写像の求め方と、基本解の方法を組み合わせた、 効率的なアルゴリズムを提唱した ([4])。 それを解説する。

§5.4 で導入した記号を用いる。

$u$ の近似 $u^{(N)}$ を基本解の方法で求めよう。 $N\in\mathbb{N}$ に対して、 $\{\zeta_k\}_{k=1}^N$ を 「$\Omega$ を取り囲むように」 $\mathbb{C}\setminus\overline {\Omega}$ から選び、

$$u^{(N)}(z):=\sum_{k=1}^N Q_k \log\left\vert z-\zeta_k\right\vert$$ (6.2)

とおく。ここで $Q_k$ は未知の実定数である ( $k=1,\dots,N$)。 $\{z_j\}_{j=1}^N$ を $\rd\Omega$ から選び、 collocation equation

$$u^{(N)}(z_j)=-\log\left\vert z_j-z_0\right\vert j=1,\dots,N$$ (6.3)

で $\{Q_k\}$ を定める。

天下りになるが、

$$f^{(N)}(z):=Q_0+\sum_{k=1}^N Q_k\Log\frac{z-\zeta_k}{z_0-\zeta_k}, \quad Q_0:=\sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z_0-\zeta_k\right\vert$$ (6.4)

とおく。ここで $\Log$ は主値を表すとする ( $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ を定義域とする)。

$$\MyRe f^{(N)}(z)= \sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z_0-\zeta_k\rig... ...ight\vert = \sum_{k=1}^N Q_k\log\left\vert z-\zeta_k\right\vert = u^{(N)}(z)$$

であり、

$$f^{(N)}(z_0)= Q_0+ \sum_{k=1}^N Q_k\Log\frac{z_0-\zeta_k}{z_0-\zeta_k} =Q_0+\sum_{k=1}^N 0=Q_0\in\mathbb{R}.$$

言い換えると $\MyIm f^{(N)}(z_0)=0$. この $f^{(N)}$ は、$f=u+i v$ の良い近似であると考えられる。

天野のアルゴリズム

(1)

(6.2), (6.3) で $\{Q_k\}$ を定める。

(2)

(6.4) で $f^{(N)}$ を定める。

(3)

$\varphi^{(N)}(z):=(z-z_0)\exp f^{(N)}(z)$ で定義される $\varphi^{(N)}$ を、 等角写像 $\varphi\colon\Omega\to D_1$ の近似として採用する。