4.2.4 $\mathbb{R}$ 上の積分

(工事中)

$(a,b)=(0,\infty)$ であるが、$f$ が $f(x)=f_1(x)e^{-x}$ ($f_1(x)$ は減衰が代数的か、あるいは単に有界) のような場合は、

$$x=\varphi_4(t)=\exp\left(t-e^{-t}\right) t\in\mathbb{R}$$ (31)

で変数変換するのが良い。

$$\lim_{t\to-\infty}\varphi_4(t)=0,\quad \lim_{t\to \infty}\varphi_4(t)=\infty,\quad \lim_{t\to\infty}\varphi_4'(t)=0.$$

$t\to\pm\infty$ のとき、 $\varphi_4'(t)$ は減衰しないが、 $f(\varphi_4(t))\varphi_4'(t)$ は二重指数関数的に減衰する。

この場合は、$I_{h,N}$ よりも

$$I_{h,N_1,N_2}=h\sum_{n=-N_1}^{N_2}f\left(\varphi(nh)\right)\varphi'(nh)$$

を採用する方が良いことが多い。