3.3.1 弱形式

部分積分を、その一般化である Green の積分公式に置き換えるだけで、 後は1次元とほぼ同様の議論が可能である。 その結果、次のような弱形式が得られる。

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$\int_\Omega \grad u\cdot\grad v\;\Dx =\int_\Omega f v\;\Dx+\int_{\Gamma_2}g_2 v\;\D s v\in X .$$ (27)

ここで

$$X_{g_1}:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=g_1\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\},$$

$$X:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=0\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\}.$$

念のため: $\grad u\cdot\grad v=u_x v_x+u_y v_y$ .