4.4 DE公式の性質

• (名前の由来) 要するに変数変換後に得られる被積分関数 $f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)$ ( $t\in\mathbb{R}$ ) が二重指数関数的に減衰する:
  $$\left\vert f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\right\vert \le C\exp\left(-C'\exp\vert t\vert\right)$$   ( $\vert t\vert\to\infty$ )$$.$$

• 端点における特異性に強い。例えば次のような積分でも大丈夫。
  $$I=\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \Dx$$

• (誤差の性質)
  $$\Delta I_h\sim \exp\left(-\frac{C}{h}\right).$$
  これから
  $$\Delta I_{h/2}\sim \exp\left(-\frac{2C}{h}\right)\sim (\Delta I_h)^2.$$
  つまり刻み幅を半分にすると、結果の有効桁数が $2$ 倍になる。 ($I_{h,N}$ についても、$N$ を十分大きくとって、 $h$ を半分、$N$ を$2$ 倍にすると、同様の挙動を示すと期待出来る。)

• Simpson 則などと比べて桁違いに高性能
  • 同じ手間で精度が何桁も良い
  • 同じ精度を得るのに手間が桁違いに少ない
• Gauss 型公式 (DE公式発見以前は究極の公式だった) と比べても
  • やはり桁違いに高性能 (Simpson 則との比較と同様)
  • 自動積分が出来るのは有利 (これが出来ないのは Gauss 型公式の弱点)
  • 分点や重みが計算しやすい (Gauss 型の場合は手間がかかり注意が必要 -- 面倒)

一方、以下のことは注意すべきである。

• 低次の多項式に対しても誤差が 0 とはならない (固有誤差)。
• アンダーフロー、オーバーフローが起こりやすく、 プログラムを書くときに注意が必要である。

DE公式のプログラミング上の注意については、森 [10] が詳しい。