, ( ) の場合 (多価関数!)。 (多価関数は気持ち悪いかもしれないが、しばらく我慢。 などと違って微分すると一価関数になるので、 案外面倒なことにはならない。)
とすると、
すなわち
(方向は と同じ、 ならば向きも同じ、 ならば反対向き、 大きさは原点から遠いほど小さい。)
速度ポテンシャルと流れ関数は
( は一価関数、 は多価関数である。)
原点の周りを一周する任意の閉曲線 を取ると、 から外に湧き出る流量 (流束) は
と一定値である。
(計算の確認: 既に見たように、 であり、 である。 また、 .)
ならば原点から湧き出す流れ、 ならば原点に吸い込まれる流れを表す。
桂田 祐史