2.2.2 湧き出し、吸い込み

$ m\in\mathbb{R}$ , $ f(z)=m\log z$ ( $ z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ) の場合 (多価関数!)。 (多価関数は気持ち悪いかもしれないが、しばらく我慢。 $ \sqrt{z}$ などと違って微分すると一価関数になるので、 案外面倒なことにはならない。)

$ z=re^{i\theta}=x+iy$ とすると、

$\displaystyle u(x,y)-iv(x,y)=f'(z)=\frac{m}{z}
=\frac{m}{r}\left(\cos\theta-i\sin\theta\right).
$

すなわち

$\displaystyle \bm{v}=\begin{pmatrix}u  v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{m}{r}\cos\theta [1.5ex]
\dfrac{m}{r}\sin\theta
\end{pmatrix}.
$

(方向は $ \begin{pmatrix}x  y \end{pmatrix}$ と同じ、 $ m>0$ ならば向きも同じ、$ m<0$ ならば反対向き、 大きさは原点から遠いほど小さい。)

速度ポテンシャルと流れ関数は

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{ll}
\phi=m\log r.\\
\psi=m\theta.
\end{array} \right.
$

($ \phi$ は一価関数、$ \psi$ は多価関数である。)

原点の周りを一周する任意の閉曲線 $ C$ を取ると、 $ C$ から外に湧き出る流量 (流束) は

$\displaystyle \int_C \bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s
=\int_C\D\psi
=\MyIm\int_C \D f
=\MyIm\int_C f'(z)\D z
=\MyIm\int_C \frac{m}{z}\D z
=2\pi m$   (怪しい雰囲気の計算)

と一定値である。

(計算の確認: 既に見たように、 $ \bm{n}\;\D s=\begin{pmatrix}-\D y \Dx\end{pmatrix}$ であり、 $ \bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s=-v\;\Dx+u\;\Dy=\psi_x\;\Dx+\psi_y\;\Dy
=\D\psi$ である。 また、 $ \D f=f'(z)\Dz=(\phi_x+i\psi_x)(\Dx+i\Dy)
=\phi_x\;\Dx-\psi_x\;\Dy)+i(\psi_x\;\...
...(\phi_x\;\Dx+\phi_y\;\Dx)+i\left(\psi_x\;\Dx+\psi_y\;\Dy\right)
=\D\phi+i\D\psi$ .)

$ m>0$ ならば原点から湧き出す流れ、 $ m<0$ ならば原点に吸い込まれる流れを表す。

図 2: 湧き出し
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桂田 祐史
2016-06-29