2.2.2 湧き出し、吸い込み

$m\in\mathbb{R}$ , $f(z)=m\log z$ ( $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ) の場合 (多価関数！)。 (多価関数は気持ち悪いかもしれないが、しばらく我慢。 $\sqrt{z}$ などと違って微分すると一価関数になるので、 案外面倒なことにはならない。)

$z=re^{i\theta}=x+iy$ とすると、

$$u(x,y)-iv(x,y)=f'(z)=\frac{m}{z} =\frac{m}{r}\left(\cos\theta-i\sin\theta\right).$$

すなわち

$$\bm{v}=\begin{pmatrix}u v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{m}{r}\cos\theta [1.5ex] \dfrac{m}{r}\sin\theta \end{pmatrix}.$$

(方向は $\begin{pmatrix}x y \end{pmatrix}$ と同じ、 $m>0$ ならば向きも同じ、$m<0$ ならば反対向き、 大きさは原点から遠いほど小さい。)

速度ポテンシャルと流れ関数は

$$\left\{ \begin{array}{ll} \phi=m\log r.\\ \psi=m\theta. \end{array} \right.$$

($\phi$ は一価関数、$\psi$ は多価関数である。)

原点の周りを一周する任意の閉曲線 $C$ を取ると、 $C$ から外に湧き出る流量 (流束) は

$$\int_C \bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s =\int_C\D\psi =\MyIm\int_C \D f =\MyIm\int_C f'(z)\D z =\MyIm\int_C \frac{m}{z}\D z =2\pi m$$   (怪しい雰囲気の計算)

と一定値である。

(計算の確認: 既に見たように、 $\bm{n}\;\D s=\begin{pmatrix}-\D y \Dx\end{pmatrix}$ であり、 $\bm{v}\cdot\bm{n}\;\D s=-v\;\Dx+u\;\Dy=\psi_x\;\Dx+\psi_y\;\Dy =\D\psi$ である。 また、 $\D f=f'(z)\Dz=(\phi_x+i\psi_x)(\Dx+i\Dy) =\phi_x\;\Dx-\psi_x\;\Dy)+i(\psi_x\;\... ...(\phi_x\;\Dx+\phi_y\;\Dx)+i\left(\psi_x\;\Dx+\psi_y\;\Dy\right) =\D\phi+i\D\psi$ .)

$m>0$ ならば原点から湧き出す流れ、 $m<0$ ならば原点に吸い込まれる流れを表す。

図 2: 湧き出し