4.3 Poisson 方程式の境界値問題に対する弱形式

$\Omega$ を $\mathbb{R}^m$ の有界な領域、 その境界 $\rd\Omega$ が $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ に分かれているとする。

$$\rd\Omega=\Gamma_1\cup\Gamma_2,\quad \Gamma_1\cap\Gamma_2=\emptyset.$$

このとき、Poisson 方程式の境界値問題

$$-\Laplacian u=f \Omega$$ (5)

$$u=g_1 \Gamma_1$$ (6)

$$\frac{\rd u}{\rd n}=g_2 \Gamma_2$$ (7)

は、次のように弱定式化される。

Find $u\in X_{g_1}$ s.t.

$$\int_\Omega \grad u\cdot\grad v\;\Dx =\int_\Omega f v\;\Dx+\int_{\Gamma_2}g_2 v\;\D s$$   ($v\in X$ )$$.$$

ここで

$$X_{g_1}:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=g_1\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\},$$

$$X:=\left\{w\in H^1(\Omega)\mid w=0\quad\text{on $\Gamma_1$}\right\}.$$

それから念のため: $\grad u\cdot\grad v=u_x v_x+u_y v_y$ .