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の値を固定するごとに、
の関数として、
で展開でき
る、つまり
と表わすことができるであろう。そして任意の
に対して、
自身が差分方程式
(2.1) |
![$\displaystyle v(x,t+k)-2v(x,t)+v(x,t-k)=\lambda^2(v(x+h,t)-2v(x,t)+v(x-h,t))$](img91.png) |
を満たさねばならない。代入すると
であるから、
(2.2) |
![$\displaystyle b(\alpha,t+k)-2b(\alpha,t)+b(\alpha,t-k) = -4\lambda^2 \sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right) b(\alpha,t).$](img93.png) |
これは
をパラメーターに持つ
階の線形差分方程式である。
この解空間は
次元の線型空間であるが、一般解を求めるには
とおいて、代入してみれば良いのであった。
であるから (2.4) は
すなわち
(2.3) |
![$\displaystyle \sin^2\left(\frac{\beta k}{2}\right) =\lambda^2 \sin^2\left(\frac{\alpha h}{2}\right)$](img97.png) |
となる。
と仮定すると、
任意の
に対して (2.5) の
右辺は 0 以上
以下の数であるから、
は実数である。
また (2.5) を満たす一つの
が得られた場合、他の
は
![$\displaystyle \exists n\in\Z$](img100.png)
s.t.
を満たす。すると
の値としては
の二通りしかないことが分かる。
ゆえに
(2.4) の一般解は、
ゆえに (2.3) の一般解は
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Masashi Katsurada
平成14年11月29日