7.1 線形安定性解析

$\lambda\in\C$ を ${\rm Re}\lambda<0$ なる定数として

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x'(t) &=& \lambda x(t) \quad\hbox{($t\in I\DefEq(a,+\infty)$)} \\ x(a) &=& x_0 \end{array}\right.$$

について適用してみる。この解は $x(t)=x_0 e^{\lambda t}$ であり、 $\left\vert x(t)\right\vert=\left\vert x_0\right\vert e^{\mathrm{Re}\;\lambda t}$ であるから、 $\dsp\lim_{t\to\infty}x(t)=0$ である。 ところが、数値解法ではしばしば

$\exists h_1>0$, $\exists h_0\in (0,h_1)$     s.t.     $\left\{ \begin{array}{l} \forall h>h_1\quad\dsp\lim_{j\to\infty}\vert x_j\vert... ...0<\forall h<h_0 \quad \dsp\lim_{j\to\infty}\vert x_j\vert=0 \end{array}\right.$

ということが起こる。

1)

中点則の場合. これはいわゆる中心差分近似

$$x'(t)=\frac{x(t+h)-x(t-h)}{2h}+O(h^2)$$

を用いて作った公式

$$\left\{ \begin{array}{l} x_{j+1}=x_{j-1}+2h f_j, \\ x_1 \hbox{は適当に定める} \end{array}\right.$$

のことを指す。 これは任意の $h>0$ に対して $\lim_{j\to\infty} \vert x_j\vert=+\infty$ を満たす。

中心差分近似に基づく中点公式 $x_{n+1}=x_{n-1}+h f(t_n,x_n)$ で $x'=\lambda x$, $x(0)=1$ を解く( $\lambda = -4.35$)。左側は $x_1=e^{\lambda h}$ としたもの、右側は $x_1=x_0+h f(t_0,x_0)$ とした もの。

    

2)

R-K 型公式の場合. 公式の段数を $s$, 次数を $m$ とすると、

$$x_{j+1}=R(\lambda h)x_j$$

のように書ける。 ここで $R(z)$ は

$$R(z)=\frac{\mbox{$s$ 次以下の多項式}}{\mbox{$s$ 次以下の多項式}}, \quad \vert R(z)-e^z\vert=O(\vert z\vert^m) \quad\mbox{($\vert z\vert\to 0$)}$$

なる $z$ の有理式である (特に公式が explicit の場合には、 $R(z)$ は $z$ の多項式になる)。 例えば Euler 法の場合 $R(z)=1+z$, 古典的 Runge-Kutta 法の場合、 $R(z) = 1+z +\Dfrac{z^2}{2} +\Dfrac{z^3}{3!} +\Dfrac{z^4}{4!}$. この $R(z)$ に対して

$${\cal R}\DefEq \left\{ z\in\C; \vert R(z)\vert<1 \right\}$$

を絶対安定領域といい、

$$\lambda h\in{\cal R} \Then \lim_{j\to+\infty}x_j=0$$

がなりたつ。 絶対安定領域が左半平面 $\{z\in\C; {\rm Re}\;z<0\}$ を 含むような公式を A-安定 (A-stable) という。 A-安定な公式では、 ${\rm Re}\;\lambda<0$ なるとき、 任意の $h>0$ に対して数値解が 0 に収束する。 次に示すのは Runge-Kutta 法の絶対安定領域である。 カラーでお見せできないのが残念ですが。

    

なお、レベル $1$ の等高線が負軸と交わる点の座標は(巾根で書けはするの だけれど...)、

$$-2.7852935634052816235297591900854630347647578967169\cdots.$$

なお、後述の硬い方程式の項を参照せよ。

3)

LM 法の場合. 公式

$$(\alpha_0-z\beta_0)x_j+ (\alpha_0-z\beta_1)x_{j+1}+\cdots (\alpha_0-z\beta_k)x_{j+k}=0$$

に対して特性方程式を

$$(\alpha_0-z\beta_0)+ (\alpha_0-z\beta_1)\xi+\cdots (\alpha_0-z\beta_k)\xi^k=0$$

で定義し、その根を $\xi_\ell(z)$ ( $\ell=1,\cdots,k$) とする。 この場合

$${\cal R}\DefEq\left\{z\in\C; \vert\xi_\ell(z)\vert<1\right\}$$

とおくと

$$\lambda h\in{\cal R}\Then \lim_{j\to\infty}x_j=0.$$