5 典型的なスキーム (2) 線形多段法

(この節は工事中というか、大工事が必要と考えて欲しい。)

$k$ 段法の公式のところで、$\Phi$ が線形の場合、 すなわち

$$d_0 x_j+d_1 x_{j+1}+\cdots+d_k x_{j+k}= h \left(\beta_0 f_j+\beta_1 f_{j+1}+\cdots+\beta_k f_{j+k}\right)$$

を線形多段法 (linear multistep method) と言う。ただし $f_j:=f(t_j,x_j)$.

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \mbox{explicit}(陽的) &\DefIff& \beta_k=0 \\ \mbox{implicit}(陰的) &\DefIff& \beta_k\ne 0 \end{array}\right.$$

$\rho(\lambda)\DefEq d_0+d_1\lambda+\cdots+d_k\lambda^k$ の根 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ について

$$\vert\lambda_i\vert\le 1$$   $$\mbox{($i=1,\cdots,k$)}$$$$,\quad \vert\lambda_i\vert=1 \hbox{となる $\lambda_i$ は単根。}$$

という条件が安定条件である。

多段法には以下の特徴がある。

(i).

出発にあたって、未知の値 $x_1$, $\cdots$, $x_{k-1}$ を何らの方法で求 めねばならない。

(ii).

計算の途中で stepsize $h$ を変更するのが難しい。

(iii).

ステップあたりの $f$ の計算回数が少ないままで、高次の公式が作れる。

(iv).

安定性に注意が必要。