4.7.1 RKF45 公式

E. Fehlberg は次の公式 RKF45¹¹を提案した (1970)。

$$x_{j+1} = x_j + h\left( \frac{16}{135}k_1 +\frac{6656}{12825}k_3 +\frac{28561}{56430}k_4 -\frac{9}{50}k_5 +\frac{2}{55}k_6 \right),$$ (5)

ただし

$$k_1 = f(t_j,x_j)$$

$$k_2 = f\left(t_j+\frac14 h, x_j+\frac14 h k_1\right)$$

$$k_3 = f\left(t_j+\frac38 h, x_j+\frac1{32}h(3 k_1+9k_2)\right)$$

$$k_4 = f\left(t_j+\frac{12}{13}h, x_j+\frac1{2197}h(1932k_1-7200k_2+7296k_3)\right)$$

$$k_5 = f\left(t_j+h, x_j+h \left(\frac{439}{216}k_1-8k_2+\frac{3680}{513}k_3 -\frac{845}{4104}k_4 \right)\right)$$

$$k_6 = f\left(t_j+\frac12 h, x_j+h \left(-\frac8{27}k_1+2k_2-\frac{3544}{2565}k_3 +\frac{1859}{4104}k_4-\frac{11}{40}k_5 \right) \right).$$

これは $6$ 段 $5$ 次の公式であるが、それだけでなく

$$x_{j+1}^\ast=x_j+h \left( \frac{25}{216}k_1+\frac{1408}{2565}k_3+\frac{2197}{4104}k_4-\frac15k_5 \right)$$ (6)

という値を作ると、 $x_{j+1}^\ast$ は $x(t_{j+1})$ に対して $4$ 次の近似値となる。 この次数の差を利用してステップ幅の自動調節をする方法を以下に説明する。

このアイディアのキーは、 $s$ 段 $m$ 次公式に、 $f$ の値を計算することなく $(m-1)$ 次公式を付随させるところにある。 このような Runge-Kutta 型公式を、 $(m-1)$ 次公式が $m$ 次公式に埋め込まれているといい、 埋め込み型 Runge-Kutta 法と呼ぶ。