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4.7.1 RKF45 公式

E. Fehlberg は次の公式 RKF4511を提案した (1970)。

(5) $\displaystyle x_{j+1} = x_j + h\left( \frac{16}{135}k_1 +\frac{6656}{12825}k_3 +\frac{28561}{56430}k_4 -\frac{9}{50}k_5 +\frac{2}{55}k_6 \right),$

ただし
  $\displaystyle k_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(t_j,x_j)$
  $\displaystyle k_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(t_j+\frac14 h, x_j+\frac14 h k_1\right)$
  $\displaystyle k_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(t_j+\frac38 h, x_j+\frac1{32}h(3 k_1+9k_2)\right)$
  $\displaystyle k_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(t_j+\frac{12}{13}h,
x_j+\frac1{2197}h(1932k_1-7200k_2+7296k_3)\right)$
  $\displaystyle k_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(t_j+h, x_j+h
\left(\frac{439}{216}k_1-8k_2+\frac{3680}{513}k_3
-\frac{845}{4104}k_4
\right)\right)$
  $\displaystyle k_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(t_j+\frac12 h, x_j+h
\left(-\frac8{27}k_1+2k_2-\frac{3544}{2565}k_3
+\frac{1859}{4104}k_4-\frac{11}{40}k_5
\right)
\right).$

これは $ 6$$ 5$ 次の公式であるが、それだけでなく

(6) $\displaystyle x_{j+1}^\ast=x_j+h \left( \frac{25}{216}k_1+\frac{1408}{2565}k_3+\frac{2197}{4104}k_4-\frac15k_5 \right)$

という値を作ると、 $ x_{j+1}^\ast$ $ x(t_{j+1})$ に対して $ 4$ 次の近似値となる。 この次数の差を利用してステップ幅の自動調節をする方法を以下に説明する。

このアイディアのキーは、 $ s$$ m$ 次公式に、 $ f$ の値を計算することなく $ (m-1)$ 次公式を付随させるところにある。 このような Runge-Kutta 型公式を、 $ (m-1)$ 次公式が $ m$ 次公式に埋め込まれているといい、 埋め込み型 Runge-Kutta 法と呼ぶ。


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Masashi Katsurada
平成23年4月29日