2.1 数学理論

1時間くらいでさらっと説明するための説明は、 桂田・佐藤 [21] に書いた。

• 局所解の存在を保証するには、 $f$ の連続性を仮定するだけで十分⁴。
• 解の一意性を保証するには $f$ の連続性だけでは不十分。
  
  
• $f$ が次に示す``変数 $x$ に関する局所 Lipschitz 条件'' を満 たせば一意性が成り立つ。 $\forall (t_0,x_0)\in\Omega$ , $\exists V: (t_0,x_0)$ の近傍, $\exists L_V>0$ s.t.
  $$\Vert f(t,x_1)-f(t,x_2)\Vert\le L_V\Vert x_1-x_2\Vert$$   $$\mbox{($(t,x_1)$, $(t,x_2)\in V$)}$$$$.$$
  $f$ がこの条件を満たすための分かりやすい十分条件として、$f$ が $C^1$ 級であることがあげられる。すなわち

• 大域的な存在について。 $(t,x(t))\to\partial\Omega$ または $\Vert x(t)\Vert\to\infty$ となるまで左右に 延長できる(延長不能解の存在定理)。

  このうち、 $(t,x(t))$ が $f$ の定義域 $\Omega$ の境界に近付くという条件は分かりやすいが、 $\Vert x(t)\Vert\to\infty$ の方は見慣れない人もいるかも知れない。 これについては次の例を見るとよい。
  
  

• 次の一様 Lipshitz 条件を満たせば、爆発しない。
  $$\exists L>0\quad \forall (t,x_1),(t,x_2)\in\Omega\quad \left\Vert f(t,x_1)-f(t,x_2)\right\Vert\le L\Vert x_2-x_1\Vert.$$