4.5 次数と段数

次数を大きくしようとすると、 普通は $f$ の値の計算回数 (段数, stage) が増えることになる。

公式の範囲を限定して、 段数 $s$ を与えたとき、 可能な最高の次数 $m$ を、 到達可能次数 (到達可能位数) と呼ぶ (Butcher による)。

$m$ の下からの評価は、 少なくとも一つの $m$ 次公式を作ることによって得られるが、 $m$ の上からの評価は $s$ 元連立代数方程式の解の不存在証明なので、 $s$ が大きくなると急激に困難になる。

陽的 Runge-Kutta 型公式の場合には、 $s\le 8$ までの場合に到達可能次数が分かっているという (一松 [14]¹⁰)。

到達可能次数

段数 $s$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$7$	$9$	$10$
到達可能次数 $m$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$

ここで $m\ge 5$ のとき $s>m$ となることに注意しよう (この事実が 4次の Runge-Kutta 法が人気のある理由の一つである)。

なお陰的 Runge-Kutta 型公式では、 $s$ 段で $2s$ 次を到達する公式が存在することが分かっている。