3.3 前進 Euler 法の収束証明

もっとも簡単な前進 Euler 法の場合に近似解が厳密解に収束することを 証明してみよう。

$x$ が $C^2$ 級であるから、$\forall h$ $\exists \theta\in(0,1)$ s.t.

$$x(t+h)=x(t)+x'(t)h+\frac{1}{2}x''(t+\theta h)h^2.$$

$x'(t)=f(t,x(t))$ であることに注意して、$t=t_n$ , $t+h=t_{n+1}$ とおくと、

$$x(t_{n+1})=x(t_n)+f(t_n,x(t_n))h+\frac{1}{2}x''(t_n+\theta h)h^2.$$

Euler 法の公式より

$$x_{n+1}=x_n+f(t_n,x_n)h$$

であるから、辺々引き算して

$$x(t_{n+1})-x_{n+1} =x(t_n)-x_n+\left(f(t_n,x(t_n))-f(t_n,x_n)\right)h +\frac{1}{2} x''(t_n+\theta h)h^2.$$ (4)

これから、もしも $x(t_n)=x_n$ であったとすると、

$$x(t_{n+1})-x_{n+1}=\frac{1}{2}x''(t_n+\theta h)h^2$$

を得る。 これから Euler 法の局所離散化誤差は $O(h)$ である (ゆえに Euler 法の 次数は $1$ である) ことが分かる。

さて、$x$ が $C^2$ 級であることから

$$M:=\max_{s\in[a,b]}\Vert x''(s)\Vert$$

が存在する。

(4) から

$$\left\Vert x(t_{n+1})-x_{n+1}\right\Vert \le \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert +\left\Vert f(t_n,x(t_n))-f... ...\Vert\cdot\vert h\vert +\frac{1}{2}\left\Vert x''(t_n+\theta h)\right\Vert h^2$$

$$\le \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert + L \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert\cdot\vert h\vert +\frac{1}{2}\cdot M h^2$$

$$= (1+L\vert h\vert)\left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert+\frac{1}{2}M h^2.$$

ここで

$$e_n:=\left\Vert x(t_n)-x_n\right\Vert$$

とおくと、

$$e_{n+1}\le (1+L\vert h\vert)e_n+\frac{1}{2}M h^2.$$

$e_0=0$ , $n\vert h\vert\le b-a$ に注意して、 以下の補題 3.5, 3.6 を用いると

$$e_n \le \frac{(1+L\vert h\vert)^n-1}{L\vert h\vert}\cdot \frac{1}{2} M h^2 =\frac{M\vert h\vert}{2L}\left[(1+L\vert h\vert)^n-1\right]$$

$$\le \frac{M\vert h\vert}{2L}(e^{nL\vert h\vert}-1) \le \frac{M\vert h\vert}{2L}(e^{L(b-a)}-1).$$

証明. 順に代入していくだけである。

$$e_1 \le A e_0+B,$$

$$e_2 \le A e_1+B\le A(A e_0+B)+B=A^2 e_0+(A+1)B,$$

$$e_3 \le A e_2+B\le A(A^2 e_0+(A+1)B)+B =A^3 e_0+(A^2+A+1)B$$

より明らかに

$$e_n\le A^n e_0+(A^{n-1}+A^{n-2}+\cdots+A+1)B. \qed$$

$\qedsymbol$

(なんか、Gronwall の数列版か？)

証明. $f(x)=\log(1+x)$ について、テイラーの定理より $\forall x>0$ , $\exists \theta\in(0,1)$ s.t.

$$\log(1+x) =f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(\theta x) x^2 =0+1\cdot x+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{(1+\theta x)^2}x^2<x.$$

ゆえに

$$\log(1+x)^{1/x}=\frac{\log(1+x)}{x}<1.$$

これから $(1+x)^{1/x}<e$ を得る。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$