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3.3 前進 Euler 法の収束証明

もっとも簡単な前進 Euler 法の場合に近似解が厳密解に収束することを 証明してみよう。



$ x$ $ C^2$ 級であるから、$ \forall h$ $ \exists \theta\in(0,1)$ s.t.

$\displaystyle x(t+h)=x(t)+x'(t)h+\frac{1}{2}x''(t+\theta h)h^2.
$

$ x'(t)=f(t,x(t))$ であることに注意して、$ t=t_n$ , $ t+h=t_{n+1}$ とおくと、

$\displaystyle x(t_{n+1})=x(t_n)+f(t_n,x(t_n))h+\frac{1}{2}x''(t_n+\theta h)h^2.
$

Euler 法の公式より

$\displaystyle x_{n+1}=x_n+f(t_n,x_n)h
$

であるから、辺々引き算して

(4) $\displaystyle x(t_{n+1})-x_{n+1} =x(t_n)-x_n+\left(f(t_n,x(t_n))-f(t_n,x_n)\right)h +\frac{1}{2} x''(t_n+\theta h)h^2.$

これから、もしも $ x(t_n)=x_n$ であったとすると、

$\displaystyle x(t_{n+1})-x_{n+1}=\frac{1}{2}x''(t_n+\theta h)h^2
$

を得る。 これから Euler 法の局所離散化誤差は $ O(h)$ である (ゆえに Euler 法の 次数は $ 1$ である) ことが分かる。

さて、$ x$ $ C^2$ 級であることから

$\displaystyle M:=\max_{s\in[a,b]}\Vert x''(s)\Vert
$

が存在する。

(4) から

  $\displaystyle \left\Vert x(t_{n+1})-x_{n+1}\right\Vert$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert
+\left\Vert f(t_n,x(t_n))-f...
...\Vert\cdot\vert h\vert
+\frac{1}{2}\left\Vert x''(t_n+\theta h)\right\Vert h^2$
    $\displaystyle \le$ $\displaystyle \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert
+ L \left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert\cdot\vert h\vert
+\frac{1}{2}\cdot M h^2$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle (1+L\vert h\vert)\left\Vert x(t_{n})-x_{n}\right\Vert+\frac{1}{2}M h^2.$

ここで

$\displaystyle e_n:=\left\Vert x(t_n)-x_n\right\Vert
$

とおくと、

$\displaystyle e_{n+1}\le (1+L\vert h\vert)e_n+\frac{1}{2}M h^2.
$

$ e_0=0$ , $ n\vert h\vert\le b-a$ に注意して、 以下の補題 3.5, 3.6 を用いると
  $\displaystyle e_n$ $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{(1+L\vert h\vert)^n-1}{L\vert h\vert}\cdot \frac{1}{2} M h^2
=\frac{M\vert h\vert}{2L}\left[(1+L\vert h\vert)^n-1\right]$
    $\displaystyle \le$ $\displaystyle \frac{M\vert h\vert}{2L}(e^{nL\vert h\vert}-1)
\le \frac{M\vert h\vert}{2L}(e^{L(b-a)}-1).$



証明. 順に代入していくだけである。

    $\displaystyle e_1$ $\displaystyle \le A e_0+B,$
    $\displaystyle e_2$ $\displaystyle \le A e_1+B\le A(A e_0+B)+B=A^2 e_0+(A+1)B,$
    $\displaystyle e_3$ $\displaystyle \le A e_2+B\le A(A^2 e_0+(A+1)B)+B =A^3 e_0+(A^2+A+1)B$

より明らかに

$\displaystyle e_n\le A^n e_0+(A^{n-1}+A^{n-2}+\cdots+A+1)B.
\qed
$

$ \qedsymbol$

(なんか、Gronwall の数列版か?)



証明. $ f(x)=\log(1+x)$ について、テイラーの定理より $ \forall x>0$ , $ \exists \theta\in(0,1)$ s.t.

$\displaystyle \log(1+x)
=f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(\theta x) x^2
=0+1\cdot x+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{(1+\theta x)^2}x^2<x.
$

ゆえに

$\displaystyle \log(1+x)^{1/x}=\frac{\log(1+x)}{x}<1.
$

これから $ (1+x)^{1/x}<e$ を得る。 $ \qedsymbol$ $ \qedsymbol$


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桂田 祐史
2015-05-30