を実対称三重対角行列とする。
(
) と仮定する。もしある
に対して
ならば
となり、
,
の固有値を求める問題に帰着できるから、一般性は失
われない。
を
の第
主座行列式とする
(
)。すなわち
(A.7) |
![$\displaystyle p_k(\lambda):= \left\{ \begin{array}{ll} \det(\lambda I_k-T_k) & \mbox{($k=1,2,\cdots,N$)} 1 &\mbox{($k=0$)} \end{array} \right. .$](img469.gif) |
ただし、
すぐ分かる命題を二つ。
証明.
行列式の行に関する展開定理を用いる。
証明.
- もしも
とすると、漸化式から
.
と仮定したから
. これを繰り返すと
これから
これは
に矛盾する。
-
を漸化式に代入すると
. 前項より左辺
. これから
,
は異符号である。
-
であるから明らか。
- 漸化式
(A.8) |
![$\displaystyle p_{k}(\lambda)= (\lambda-a_{k})p_{k-1}(\lambda)-{b_{k-1}}^2 p_{k-2}(\lambda)$](img487.gif) |
を微分すると、
(A.9) |
![$\displaystyle p_{k}'(\lambda)= p_{k-1}(\lambda)+(\lambda-a_{k})p_{k-1}'(\lambda) -{b_{k-1}}^2p_{k-2}'(\lambda).$](img488.gif) |
(A.8) と (D.5) から
(A.10) |
![$\displaystyle p_{k}'(\lambda)p_{k-1}(\lambda)-p_{k}(\lambda)p_{k-1}'(\lambda) =...
...)p_{k-2}(\lambda)-p_{k-1}(\lambda)p_{k-2}'(\lambda) \right) +p_{k-1}^2(\lambda)$](img489.gif) |
が得られる。ここで
とおくと (A.10) は
となる。ところで
であるから、以下帰納的に
特に
であるが、
であるから
Subsections
桂田 祐史