I. 掃く面積の計算

楕円の方程式は

$$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$$

近日点 ($\theta=0$) から $\theta=\theta_0$ までの面積

$$S =\frac{1}{2}\int_0^{\theta_0} r^2\;\D\theta =\frac{1}{2}\int_0^{\theta_0}\frac{p^2}{\left(1+e\cos\theta\right)^2} \;\D\theta$$

$$=\frac{p^2}{2}\cdot \frac{1}{\left(e^2-1\right)^{3/2}(1+e\cos\the... ...ta_0)\tanh^{-1} \left(\frac{(e-1)\tan(\theta_0/2)}{\sqrt{e^2-1}}\right) \right)$$

$a=\dfrac{p}{e^2-1}$, $b=\dfrac{p}{\sqrt{e^2-1}}$, $x_0=\dfrac{p e}{e^2-1}$