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,
,
とするとき、
(1) |
![$\displaystyle y''+p y'+q y=f(x)$](img9.png) |
を考える。
特性方程式
の根を
,
とする。
すなわち
.
とおくとき、
実際、
であるから1。
つまり、(1) は、連立微分方程式
に帰着される。
ゆえに、
が (1) の解であれば、
は (3) の解であるから、
1階微分方程式の解の公式 (系 2.3) によって
(4) |
![$\displaystyle v(x)=v(x_0)e^{\alpha(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\alpha(x-t)}f(t)\;\Dt.$](img23.png) |
一方
は (2) の解でもあるから、
やはり系 2.3 によって
(5) |
![$\displaystyle y(x)=y(x_0)e^{\beta(x-x_0)}+\int_{x_0}^x e^{\beta(x-t)}v(t)\;\D t.$](img24.png) |
(5) に (4) を代入し、
を使って整理すると
これで (1) の解が得られた。
以下、この結果を整理する。
右辺の3項を順に
,
,
とおくと、
簡単な計算で、
が分かるので、
とおくとき、
は、
とした同次微分方程式の解であるから、
初期値問題
の解であることが分かる。
ゆえに
は
の解である。
積分の順序を交換すると
内側の積分は
となるので、
(6) |
![$\displaystyle G(x):= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}...
...\alpha\ne\beta$)}\ x e^{\alpha x} &\mbox{($\alpha=\beta$)} \end{array} \right.$](img43.png) |
とおくと、
実はこの
を用いると、
と書き直せる。
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Masashi Katsurada
平成21年10月4日