標準固有値問題への帰着

$$A x=\lambda B x$$

必要ならばシフトを行う。 すなわち任意に選んだ $\widetilde\lambda\in\R$ に対して、

$$A x-\widetilde\lambda B x=(\lambda-\widetilde\lambda) B x.$$

そこで

$$\widetilde A\DefEq A-\widetilde\lambda B,\quad \mu\DefEq\lambda-\widetilde\lambda$$

とおくと

$$\widetilde A x=\mu B x.$$

$B$ の Cholesky 分解を

$$B=U^T U$$

として、上の式に代入すると

$$\widetilde A x=\mu U^T U x.$$

左から $\mu^{-1} U \wt A^{-1}$ をかけると (ただし $\wt A^{-1}=(\wt A)^{-1}$)

$$\mu^{-1} U x= U \wt A^{-1} U^T U x.$$

そこで

$$A'\DefEq U \wt A^{-1} U^T,\quad \nu\DefEq \mu^{-1}, \quad y\DefEq U x$$

とおくと、

$$A' y=\nu y$$

という標準固有値問題に帰着された。

これに Lanczos 法を適用して、対称三重対角行列 $T$ の 固有値問題

$$T z=\nu z$$

に変換する。