4.1 実数値関数の場合

次の非常に簡明な結果が成立する。

(i) $\Then$ (ii) の証明。 $y\in \mathrm{AC}([a,b];\R)$ とする。 まず明らかに $y\in L^1(a,b;\R)$ . Radon-Nikodym の定理より、 $[a,b]$ 上ほとんど到るところ微分可能で、 $y'\in L^1(a,b;\R)$ . 任意の $\varphi\in C^\infty_0((a,b);\R)$ は絶対連続であるから、 定理 2.4 によって

$$\int_a^b y(t)\varphi'(t)\,\D t =\left[y(t)\varphi(t)\right]_{a}^b-\int_a^b y'(t)\varphi(t)\,\D t =-\int_a^b y'(t)\varphi(t)\,\D t.$$

これは $y\in W^{1,1}(a,b;\R)$ で、$y$ の Sobolev の意味での導関数が、 $y'$ に他ならないことを示している。

(ii) $\Then$ (i) については、 次の命題 4.2 から分かる。$\qedsymbol$

これ以外に Brezis [4] の p.171 命題 VIII.3 とその直後の注意を見よ。