1.2 準備 -- 抽象形

$ K$ $ \R$ または $ \C$ を表すものとする。 $ A\in M(m,n;K)$ とする。 もちろん $ A^\ast\in M(n,m;K)$ であり、 $ A^{\ast\ast}:=(A^\ast)^\ast=A$ である。

$\displaystyle f(x)=A x$   $\displaystyle \mbox{($x\in K^n$)}$$\displaystyle ,
\quad
f^\ast(y)=A^\ast y$   $\displaystyle \mbox{($y\in K^m$)}$

によって、 $ f\colon K^n\to K^m$ , $ f^\ast\colon K^m\to K^n$ という写像が定まる。で定める。


\begin{jproposition}
$K=\R$\ or $\C$\ とする。
$A\in M(m,n;K)$, $x\in K^n$...
...playmath}
(A x,y)_{K^m}=(x,A^\ast y)_{K^n}.
\end{displaymath}\end{jproposition}

証明

$\displaystyle (A x,y)_{K^m}=y^\ast(A x)=(y^\ast A)x=(A^\ast y)^\ast x
=(x,A^\ast y)=(x,A^\ast y)_{K^n}. \qed
$

逆にこの性質で $ A^\ast$ を特徴づけることもできる。すなわち $ A\in M(m,n;K)$ , $ B\in M(n,m;K)$ に対して、

$\displaystyle \forall x\in K^n\quad
\forall y\in K^m\quad
(A x,y)_{K^m}=(x,B y)_{K^n}
\quad
\Then
\quad
B=A^\ast.
$


\begin{jproposition}
$K=\R$\ or $\C$, $A\in M(m,n;K)$\ とするとき
$N(A)=R...
...oplus R(A^\ast)
\quad\mbox{(直交直和)}.
\end{displaymath}\end{jproposition}

証明

$ x\in K^n$ とするとき、

  $\displaystyle x\in N(A)$ $\displaystyle \Iff$ $\displaystyle A x=0 \quad\Iff\quad \forall y\in K^m
\quad (A x,y)_{K^m}=0
\quad\Iff\quad
\forall y\in K^m\quad (x,A^\ast y)_{K^n}=0$
    $\displaystyle \Iff$ $\displaystyle \forall z\in R(A^\ast)\quad (x,z)_{K^n}=0
\quad\Iff\quad
x\in R(A^\ast)^\perp. \qed$


\begin{jcorollary}
$K=\R$\ or $\C$, $A\in M(m,n;K)$\ とするとき
$N(A^\ast...
...\ast)\oplus R(A)
\quad \mbox{(直交直和)}.
\end{displaymath}\end{jcorollary}

証明

$ A^{\ast\ast}=A$ に注意すればよい。 $ \qedsymbol$


\begin{jremark}
有限次元内積空間では、
任意の部分ベクトル...
...N(A)^\perp=R(A^\ast)$,
$N(A^\ast)^\perp=R(A)$\ でもある。\qed
\end{jremark}

線形代数の常識1.1

$\displaystyle \rank A=\rank A^T=\rank A^\ast
$

$ \dim R(A)=\dim R(A^\ast)$ を意味しているので、 次の命題を得る。

\begin{jproposition}
$K=\R$\ or $\C$, $A\in M(n;K)$\ とするとき
\begin{dis...
...gmapsto A x\in K^n$\ について、
単射 $\Iff$\ 全射。
\end{jproposition}


\begin{jremark}
この命題の最後の「全射 $\Iff$\ 単射」の部分は...
...来る
(むしろこちらの方がふつうかもしれない)。
\end{jremark}

桂田 祐史
2017-04-30