1.2 準備 -- 抽象形

を $\R$ または $\C$ を表すものとする。 $A\in M(m,n;K)$ とする。もちろん $A^\ast\in M(n,m;K)$ であり、 $A^{\ast\ast}:=(A^\ast)^\ast=A$ である。

$\displaystyle f(x)=A x$ $\displaystyle \mbox{($x\in K^n$)}$ $\displaystyle , \quad f^\ast(y)=A^\ast y$ $\displaystyle \mbox{($y\in K^m$)}$

によって、 $f\colon K^n\to K^m$ , $f^\ast\colon K^m\to K^n$ という写像が定まる。で定める。

$\begin{jproposition} $K=\R$\ or $\C$\ とする。 $A\in M(m,n;K)$, $x\in K^n$... ...playmath} (A x,y)_{K^m}=(x,A^\ast y)_{K^n}. \end{displaymath}\end{jproposition}$

証明

$\displaystyle (A x,y)_{K^m}=y^\ast(A x)=(y^\ast A)x=(A^\ast y)^\ast x =(x,A^\ast y)=(x,A^\ast y)_{K^n}. \qed$

逆にこの性質で $A^\ast$ を特徴づけることもできる。すなわち $A\in M(m,n;K)$ , $B\in M(n,m;K)$ に対して、

$\displaystyle \forall x\in K^n\quad \forall y\in K^m\quad (A x,y)_{K^m}=(x,B y)_{K^n} \quad \Then \quad B=A^\ast.$

$\begin{jproposition} $K=\R$\ or $\C$, $A\in M(m,n;K)$\ とするとき $N(A)=R... ...oplus R(A^\ast) \quad\mbox{(直交直和)}. \end{displaymath}\end{jproposition}$

証明

$x\in K^n$ とするとき、

	$\displaystyle x\in N(A)$	$\displaystyle \Iff$	$\displaystyle A x=0 \quad\Iff\quad \forall y\in K^m \quad (A x,y)_{K^m}=0 \quad\Iff\quad \forall y\in K^m\quad (x,A^\ast y)_{K^n}=0$
		$\displaystyle \Iff$	$\displaystyle \forall z\in R(A^\ast)\quad (x,z)_{K^n}=0 \quad\Iff\quad x\in R(A^\ast)^\perp. \qed$

$\begin{jcorollary} $K=\R$\ or $\C$, $A\in M(m,n;K)$\ とするとき $N(A^\ast... ...\ast)\oplus R(A) \quad \mbox{(直交直和)}. \end{displaymath}\end{jcorollary}$

証明

$A^{\ast\ast}=A$ に注意すればよい。 $\qedsymbol$

$\begin{jremark} 有限次元内積空間では、任意の部分ベクトル�... ...N(A)^\perp=R(A^\ast)$, $N(A^\ast)^\perp=R(A)$\ でもある。\qed \end{jremark}$

線形代数の常識^1.1

$\displaystyle \rank A=\rank A^T=\rank A^\ast$

は $\dim R(A)=\dim R(A^\ast)$ を意味しているので、次の命題を得る。

$\begin{jproposition} $K=\R$\ or $\C$, $A\in M(n;K)$\ とするとき \begin{dis... ...gmapsto A x\in K^n$\ について、単射 $\Iff$\ 全射。 \end{jproposition}$

$\begin{jremark} この命題の最後の「全射 $\Iff$\ 単射」の部分は... ...来る (むしろこちらの方がふつうかもしれない)。 \end{jremark}$

桂田祐史
2017-04-30