6.4 有限部分、主値

$\varphi\in\SchwartzD(\R)$ とすると、 $\eps\to +0$ とするとき、

$$\int_{-\infty}^{-\eps}\frac{\varphi(x)}{x}\Dx \int_{\eps}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\Dx = \int_{\eps}^{\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x}\Dx$$ (6.14)

は有限な値に収束するが、これを積分

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\Dx$$ (6.15)

の有限部分または主値と呼び、

$$\left( {\rm Pf.}\frac{1}{x} \right)(\varphi) \quad\hbox{または} \quad {\rm v.p.}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\Dx$$ (6.16)

で表す。 ${\rm Pf.}\frac{1}{x}\in{\cal D}(\R)$ である。