3.1.3 位相的直和、位相的補空間

この項の内容は主に Brezis [10] による。 なお、[10] では代数的直和を単に「直和」と書いているが、 この文書では誤解のないようにつねに「代数的直和」と書く。

Hilbert 空間 $X$ では、 任意の閉線型部分空間 $M$ について

$$X=M\oplus M^\perp$$   (直交直和)

が成立する。

この一般化、つまり内積を考えない直和分解を考えよう。 $X$ が二つの線型部分空間 $M$ と $L$ の代数的直和であるとは、

$$X=M+L$$   (代数的直和)$$\quad\DefIff\quad \forall x\in X\quad \exists! y\in M\quad \exists! z\in L\quad x=y+z$$

ということであった ($X=M+L$ かつ $M\cap L=\{0\}$ とも書ける)。

有限次元線型空間のことを思い出しても、 $M$ の相手「補空間」 $L$ は一意的には決まらない、 ということをまず注意しておく。

無限次元空間の場合は、位相的なことを考慮する必要がある。 一言で言うと、$M$ と $L$ を閉集合であるという条件を付加する。 こうしておくとそれぞれへの射影作用素が連続になる (以下の系 3.1.11 を参照)。

この定義の状況下で、 $X$ から $M$ や $L$ への射影は連続になる (以下で証明する)。

明らかに、 Hilbert 空間においては、 任意の閉線型部分空間 $M$ に対して、 $M$ の直交補空間 $M^\perp$ は $M$ の位相的補空間になっている。

証明

$M\times L$ にノルム $\Vert[x,y]\Vert:=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ を 与えたノルム空間と、 $X$ の部分ノルム空間 $M+L$ を考え、 $T\colon M\times L\to M+L$ を

$$T[x,y]:=x+y$$

で定めると、これは有界線型かつ全射であるから、 開写像定理により、 $\exists C>0$ , ( $\forall x\in M+L$ : $\Vert x\Vert<C$ ) ( $\exists y\in M$ ) ( $\exists z\in L$ ) s.t.

$$x=y+z,\quad \Vert x\Vert+\Vert y\Vert<1.$$

これから任意の $x\in M+L$ に対して、 $\exists y\in M$ , $\exists z\in L$ s.t.

$$x=y+z,\quad \Vert y\Vert+\Vert z\Vert\le \frac{1}{C}\Vert x\Vert.\qed$$

この補題から次の系は明らかである。

ところで、ここが重要なことだが、 任意に選んだ閉線型部分空間 $M$ に対して、 その位相的補空間が存在するとは限らない。

(証明はとりあえず省略。 (1), (2) については例えば Brezis [10] などを見よ。 小松・伊藤 [3] や Treves [11] にもあったかな。 (3) については、Banach に載っているとも。)

$p\ne 2$ のときの $L^p(\Omega)$ や $\ell^p$ においても、 位相的射影を持たない閉線型部分空間がある。 これらが Hilbert 空間と同型でないことを示せば良いわけだが、

F.J.Murray, Trans.Amer.Math.Soc. 41 (1937), 138-152

にあるとか (岡本・中村 [3] に載っていた情報)。