3.1.1 代数的直和、代数的補空間、代数的射影作用素

線形代数レベルの話である。

証明

(1)

$x_1$ , $x_2\in X$ が与えられたとする。 次を満たす $y_1$ , $z_1$ , $y_2$ , $z_2$ が存在する。

$$x_1=y_1+z_1,\quad y_1\in Y,\quad z_1\in Z,$$

$$x_2=y_2+z_2,\quad y_2\in Y,\quad z_2\in Z.$$

このとき

$$\lambda x_1+\mu x_2 =(\lambda y_1+\mu y_2)+(\lambda z_1+\mu z_2), \quad \lambda y_1+\mu y_2\in Y,\quad \lambda z_1+\mu z_2\in Z$$

となるので、

$$P(\lambda x_1+\mu x_2) =\lambda y_1+\mu y_2 =\lambda P x_1+\mu ... ...\quad Q(\lambda x_1+\mu x_2) =\lambda z_1+\mu z_2 =\lambda Q x_1+\mu Q x_2.$$

(2)

$x\in X$ に対して、

$$x=y+z,\quad y\in Y,\quad z\in Z$$

を満たす $y$ , $z$ がある。$y=P x$ , $z=Q x$ であるので、

$$x=y+z=P x+Q x=(P+Q) x$$

であるから、$I=P+Q$ . また $y$ , $z$ の分解は

$$y=y+0,\quad y\in Y, \quad 0\in Z,$$

$$z=0+z,\quad 0\in Y, \quad z\in Z$$

であるから、$P y=y$ , $Q y=0$ , $P z=0$ , $Q z=z$ . ゆえに

$$P Q x=P(Q x)=P z=0,\quad Q P x=Q(P x)=Q y=0.$$

これは $P Q=Q P=O$ を意味する。

(3)

(2) の証明に続いて、

$$P^2 x=P(P x)=P y=y=P x,\quad Q^2 x=Q(Q x)=Q z=z=Q x$$

となるので、$P^2=P$ , $Q^2=Q$ . $\qedsymbol$

代数的射影作用素 $P$ は $P^2=P$ を満たすわけだが、 逆にこの性質を持つ線型作用素があるとき、 一つの代数的直和分解が得られることを以下に示す。 先走って標語的にまとめておくと、

代数的直和分解 $\longleftrightarrow$ 代数的射影作用素

証明

(1)

(どれも単純な計算で証明できる。) $P+Q=I$ は明らか。 $P Q=P(I-P)=P-P^2=O$ , $Q P=(I-P)P=P-P^2=O$ , $Q^2=(I-P)(I-P)=I^2-2P+P^2=I-P=Q$ .

(2)

$x\in Y$ とすると、 $\exists x'\in X$ s.t. $P x'=x$ . 両辺に $P$ をかけて $P^2 x'=P x$ . $P^2=P$ より左辺 $=P^2 x'=P x'=x$ であるから、$P x=x$ . 逆に $P x=x$ のとき $x\in P X=Y$ であるのは明らか。 $\qedsymbol$

証明

$P+Q=I$ より、$Y+Z=X$ . また $P Q=O$ より $Y\cap Z=\{0\}$ である (実際 $x\in Y\cap Z$ とすると、$x=P x$ , $x=Q x$ であるから、 $x=P x=P Q x=O x=0$ となり、 $Y\cap Z=\{0\}$ が示される)。 $\qedsymbol$