4.7 完全正規直交系の存在

$\begin{jdefinition}[可分] 位相空間 $X$\ が\textbf{可分} (separable) �... ...��して、 $\overline D=X$\ が成り立つことである。 \end{jdefinition}$

$\begin{jproposition}[] 可分な Hilbert 空間には完全正規直交系が存在する。 \end{jproposition}$

は可分だから稠密な部分集合 $\{\varphi_n\}_{n\in\N}$ が存在する。これから元を抜いていくことによって、一次独立な部分集合 $\{x_n\}_{n\in\N}$ が作れる。 Schmidt の直交化法によって正規直交系 $\{u_n\}_{n\in\N}$ を作ると、

$\displaystyle (u_i,u_j)=\delta_{ij}$ $\displaystyle \mbox{($i,j=1,2,\cdots$)}$ $\displaystyle ,$

$\displaystyle \forall n\in\N\quad {\rm Span}(x_1,\cdots,x_n)={\rm Span}(u_1,\cdots,u_n).$

(以下続き) $\qedsymbol$

$\begin{jproposition}[完全性の条件] Hilbert 空間 $X$\ の正規直交系... ...rangle =0\quad\Then\quad u=0. \end{displaymath}\end{enumerate}\end{jproposition}$

桂田祐史
2017-04-30