1.3 Young の不等式

$\begin{jproposition}[Young]\upshape $p$, $q\in (1,\infty)$ を互いに共役�... ...��は $a=b$ のとき、そのときに限り成り立つ。 \end{jproposition}$

$\begin{jremark}\upshape この不等式は有名な H\uml older の不等式の... ...分解で) 証明できる。やってみることを勧める。 \end{jremark}$
二階導関数を調べることにより、 $-\log$ は狭義凸であることがわかるから、

$\begin{displaymath} -\log\left(\frac{1}{\;p\;}a^p+\frac{1}{\;q\;}b^q\right) \l... ...c{1}{\;p\;}\log a^p+\frac{1}{\;q\;}\log b^q\right) =-\log ab. \end{displaymath}$

すなわち

$\begin{displaymath} \log ab \le \log\left(\frac{1}{\;p\;}a^p+\frac{1}{\;q\;}b^q\right). \end{displaymath}$

ゆえに

$\begin{displaymath} a b\le \frac{1}{\;p\;}a^p+\frac{1}{\;q\;}b^q.\qed \end{displaymath}$

桂田祐史
2017-04-30