5.3 Weierstrassの楕円関数

5.3 Weierstrassの楕円関数

$\begin{jproposition} $\Gamma$ は $\mathbb{C}$ の格子群とするとき、... ...、 $\Gamma$ の各点は $\zeta$ の1位の極である。 \end{jproposition}$

証明. (準備中) $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\begin{jcorollary} $\Gamma$ は $\mathbb{C}$ の格子群とするとき、 \... ...mma$ を周期群とする位数$2$の楕円関数である。 \end{jcorollary}$

$\begin{jdefinition} $\zeta$ を $\Gamma$ を格子群とする \textbf{Weiers... ...�とする \textbf{Weierstrass のペー関数}と呼ぶ。、 \end{jdefinition}$

$\displaystyle \int_\infty^{\wp(u)}\frac{\Dx}{\sqrt{4x^3-g_2x-g_3}}=u.$

(極の場合はどう扱うのかな？)

(23)	$\displaystyle \sigma(u):=u{\prod}'\left(1-\frac{u}{\omega}\right) \exp\left(\frac{u}{\omega}+\frac{u^2}{2\omega^2}\right).$

$\displaystyle \zeta(u)=\frac{\sigma'(u)}{\sigma(u)},\quad \wp'(u)=\frac{\sigma'(u)^2-\sigma(u)\sigma''(u)}{\sigma(u)^2}.$

次は志村先生が良く使っているやつだな。

$\displaystyle \bm{e}(x):=\exp\left(2\pi i x\right)$

$\displaystyle H:=\left\{\tau\in\mathbb{C}\relmiddle\vert\MyIm\tau>0\right\}.$

$(z,\tau)\in\mathbb{C}\times H$ に対して

$\displaystyle \theta(z,\tau):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bm{e}\left(\frac{1}{2}n^2\tau+n z\right)$

とおくと、 $\theta$ は $\mathbb{C}\times H$ 上の正則関数である。

		$\displaystyle \theta(z+1,\tau)=\theta(z,\tau),$
		$\displaystyle \theta(z+\tau,\tau)=\bm{e}\left(-\frac{\tau}{2}-z\right)\theta(z,\tau).$

$\theta$ はを周期とする周期関数であるので、定義式はFourier級数展開の式とみなすことも出来る。

テータ関数で数値計算するという話があるので、そこまでは進みたいのだけど…

桂田祐史