4.1 伝統的な説明

$$T=\left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou \\ ... ...} & a_{N-1} & b_{N-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{N-1} & a_N \end{array} \right)$$

を実対称三重対角行列とする。

$b_k\ne 0$ ( $k=1,2,\cdots,N-1$ ) と仮定する。もしある $k$ に対して $b_k=0$ ならば

$$T = \left(\begin{array}{cc}T' & O \\ O & T''\end{array}\right)$$

となり、 $T'$ , $T''$ の固有値を求める問題に帰着できるから、一般性は失わない。

$p_k(\lambda)$ を $\lambda I-T$ の $k$ 次首座小行列式とする ( $k=0,1,\cdots,N$ )。すなわち

$$p_k(\lambda):= \left\{ \begin{array}{ll} \det(\lambda I_k-T_k) & \mbox{($k=1,2,\cdots,N$)}\\ 1 &\mbox{($k=0$)}. \end{array} \right.$$

ただし、

$$I_k=$$$$\mbox{$k$\ 次の単位行列}$$$$,\quad T_k=$$   $$\mbox{$T$\ の$k$次首座小行列}$$$$= \left( \begin{array}{ccccc} a_1 & b_1 & 0 & & \bigzerou \\ ... ... & a_{k-1} & b_{k-1} \\ \bigzerol & & 0 & b_{k-1} & a_k \end{array} \right).$$

すぐ分かることは、

証明. Strum 列については別に一つの章をもうけて説明するので、 そこで述べることにする。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$