2.7.1 対称の場合

最初に簡単のため、$A$ が対称 $A^*=A$ の場合を考える。 冪乗法により、 $\lambda_1$ と対応する固有ベクトル $z_1$ を求めたとする。 $\lambda_i$ に属する固有ベクトルを $z_i$ として ( $i=2,3,\cdots,n$ )、 $z_1$ , $\cdots$ , $z_n$ が正規直交系 ( $z_i^* z_j=\delta_{ij}$ ) であるとする (ただし $i\ge 2$ について、具体的に求めるわけではない)。 このとき、

$$B=A-\lambda_1 z_1 z_1^*$$

とおくと、これも対称で、

$$B z_1=A z_1-\lambda_1 z_1 z_1^*z_1 =\lambda_1 z_1-\lambda_1 z_1\cdot1=0,$$

$$B z_i=A z_i-\lambda_1 z_1 z_1^* z_i =\lambda_i z_i-\lambda_1 z_1\cdot0=\lambda_i z_i$$   $$\mbox{($i=2,3,\cdots,n$)}$$$$.$$

ゆえに $B$ について冪乗法を適用すると、$\lambda_2$ が得られるはずである。

$B$ と任意に与えられたベクトル $v$ との積は

$$B v=A v-\lambda_1 z_1 (z_1^* v)$$

と計算できるので、$B$ の成分を求めておく必要はないことに注意しよう。