11.4.1 例に基づく説明

なお、

$$R=\begin{pmatrix}1&1\ -1&1\end{pmatrix}$$

の逆行列は

$$R^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\ -1&1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}R.$$

上の例は簡単であるが、 一般の場合に基本操作として使うことが出来る。 それを説明しよう。

$$A=\left( \begin{array}{c\vert c\vert c} D & O & O \\ \hline O & A' & B^T\\ \hline O & B & C \end{array} \right),\quad D=$$対角行列$$,\quad A'=\begin{pmatrix}0&a\ a&0\end{pmatrix},\quad C=$$対称行列

とする (つまり掃き出しの過程で対角成分が 0 のブロックが出て来た場合を考える)。

$$S:= \left( \begin{array}{c\vert c\vert c} I & O & O \\ \hlin... ...O & O & I \end{array} \right),\quad R:=\begin{pmatrix}1&1\ 1&-1\end{pmatrix}$$

とすると、$R^T=R$ であるから、 $S^T=S$ で、

$$S^T A S= \left( \begin{array}{c\vert c\vert c} D & O & O \\ ... ...nd{array} \right), \quad R^T A' R= \begin{pmatrix}2a&0\ 0&-2a\end{pmatrix}.$$

ピボットが見つからないという障害物を突破できた。

すなわち

$$\star S^T A S= \left( \begin{array}{c\vert c\vert c} D & O & O \ \hlin... ...ix}2a&0\ 0&-2a\end{matrix} & (B R)^T\ \hline O & B R & C \end{array} \right).$$

後で使いそうなので

$$B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \vdots & \vdots \\ b_{r1} & b_{r2} \end{pmatrix}$$   とするとき$$\quad BR= \begin{pmatrix} b_{11}+b_{12} & b_{11}-b_{12} \\ b... ...}-b_{22} \\ \vdots & \vdots \\ b_{r1}+b_{r2} & b_{r1}-b_{r2} \end{pmatrix}$$

であることを注意しておく。

($\star$ ) の形になれば、 2段階の掃き出しが出来て

$$S^T A S\to \left( \begin{array}{c\vert c\vert c} D & O & O \ ... ...trix}2a&0\ 0&-2a\end{matrix} & O\\ \hline O & O & C' \end{array} \right).$$

少し脇道にそれるが、後のために注意しておくと

$$S^{-1}= \left( \begin{array}{c\vert c\vert c} I & O & O \\ \hline O & \frac{1}{2} R & O\\ \hline O & O & I \end{array} \right)$$

である。

より一般の場合、すなわち

$$A=\left( \begin{array}{c\vert c} D& O\\ \hline O& A' \end{array} \right),\quad D=$$$k-1$ 次対角行列$$,\quad A'=$$対称行列

で、$A'$ の対角成分はすべて 0 であるが、 非対角成分に 0 でないものがある場合を考える。 まずは $a_{ij}\ne 0$ となる $(i,j)\in\{k,\cdots,n\}\times \{k,\cdots,n\}$ を探す。

  found = 0;
  for (i=k; i<=n; i++) {
    for (j=k; j<=n; j++) { // j=i+1 からで良いのかな？
      if (a[i][j] != 0) {
        found = 1;
        break;
      }
    }
  }

$a_{ij}=a_{ji}=a\ne 0$ として、 $i$ 行と $k$ 行、$i$ 列と $k$ 列を交換、 $j$ 行と $k+1$ 行、$j$ 列と $k+1$ 列を交換、 すると、

$$A\to P_{j,k+1}P_{ik}AP_{ik}P_{j,k+1}=\left( \begin{array}{c\ver... ...ix}0&a\ a&0\end{matrix} & (B')^T\\ \hline O & B' & C' \end{array} \right)$$

の形になる。 ここで $P_{rs}$ は左からかけると、 $r$ 行と $s$ 行を交換することになる置換行列とする。