9.1 正則な行列束に関する一般化固有値問題の定義

$A$ , $B\in\C^{n\times m}$ とするとき、

$$\{A-\lambda B;\lambda\in\C\}$$

を行列束と呼ぶ。

行列束 $\{A-\lambda B\}$ が正則であるとは、 $A$ と $B$ が同じ次数の正方行列であり、かつ

$$\exists\lambda\in \C$$   s.t.$$\quad \det(A-\lambda B)\ne 0$$

が成り立つことと定義する。そうでないとき、行列束は特異であると定義する。

正則な行列束 $\{A-\lambda B\}$ に対して、

$$A x=\lambda B x,\quad x\ne 0$$

を満たす $x$ が存在するような $\lambda$ の値と、 そのときの $x$ を求める問題を一般化された固有値問題と呼ぶ。

$${\rm sp}[A,B]\DefEq \{\lambda\in\C; \det(A-\lambda B)=0\}.$$

とおき、 ${\rm sp\;}[A,B]$ の元を、行列束の固有値と呼ぶ。

応用上は $A$ , $B$ が対称で、特に $B$ が半正定符号であることが多い。