計算の工夫 (2) 与えられた行列 $A$ を $G$ で 相似変換 ($G^T A G$ )

$$B:= G^T A G, \quad G:=G(p,q,\theta)$$

は $p$ , $q$ 行目, $p$ , $q$ 列目を除き $A$ と変わらない。

$$b_{ij} = a_{ij} \mbox{($i\ne p,q$ かつ $j\ne p,q$)} ,$$

$$b_{pj} = a_{pj}\cos\theta-a_{qj}\sin\theta \mbox{($j\ne p,q$)} ,$$

$$b_{qj} = a_{pj}\sin\theta+a_{qj}\cos\theta \mbox{($j\ne p,q$)} ,$$

$$b_{ip} = a_{ip}\cos\theta-a_{iq}\sin\theta=b_{pi} \mbox{($i\ne p,q$)} ,$$

$$b_{iq} = a_{ip}\sin\theta+a_{iq}\cos\theta=b_{qi} \mbox{($i\ne p,q$)} ,$$

$$b_{pp} = a_{pp}\cos^2\theta-2a_{pq}\cos\theta\sin\theta+a_{qq}\sin^2\theta,$$

$$b_{qq} = a_{pp}\sin^2\theta+2a_{pq}\cos\theta\sin\theta+a_{qq}\cos^2\theta = a_{pp}+a_{qq}-b_{pp},$$

$$b_{pq} = (a_{pp}-a_{qq})\cos\theta\sin\theta +a_{pq}(\cos^2\theta-\sin^2\theta),$$

$$b_{qp} = b_{pq}.$$