C..2 解析的係数を持つ線型常微分方程式 (1)正則の場合

線型常微分方程式

$$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0$$

において、すべての係数は開円盤 $\vert x-x_0\vert<r_0$ で正則 (ベキ級数展開可能) とする。 このとき $a(x_0)\ne 0$ のとき $x_0$ を正則点、 $a(x_0)=0$ のとき $x_0$ を特異点と呼ぶ。

$x_0$ が正則点である場合、 $p(x):=b(x)/a(x)$ , $q(x):=c(x)/a(x)$ とおくことで、

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

と変形できる。 十分小さい $r>0$ が存在して、 $p(x)$ , $q(x)$ は $\vert x-x_0\vert<r$ で正則である。