B..7 零点の表

いいかげん Mathematica プログラム

(* n次第1種Bessel関数のx0の近くの根 *)
rootnear0[n_, x0_]:= FindRoot[BesselJ[n, x] == 0, {x, x0}, 
            WorkingPrecision -> 100, AccuracyGoal -> 90]
(* n次第1種Bessel関数のx0の近くの根 *)
rootnear[n_,x0_]:= x /. rootnear0[n,x0][[1]]
(* n次第1種Bessel関数のm番目の根 *)
Jroot[0,1]=rootnear[0,2]
Jroot[n_,1]:=Jroot[n,1]=rootnear[n,Jroot[n-1,1]+Pi/2]
Jroot[n_,m_]:=Jroot[n,m]=rootnear[n,Jroot[n,m-1]+Pi]

(既に述べたように、現在の Mathematica では、 もっと楽に零点を求めることが出来る。)

$m>1$ に対する $\nu_{n,m}$ は、 $J_n(x)=0$ の $\nu_{n,m-1}+\pi$ の近くの解として求めている。 それは

$$\lim_{m\to\infty}(\nu_{n,m+1}-\nu_{n,m})=\pi$$

に基づく。根拠はあまり強くない ($n$ が小さいときは、 $m$ が小さくても $\nu_{n,m+1}-\nu_{n,m}\sim \pi$ は良い近似になっている が、$n$ が大きくなるとずれが大きくなって来る)。

$m=1$ の場合、つまり $\nu_{n,1}$ をどう求めるか。

$$\lim_{n\to\infty}(\nu_{n,1}-\nu_{n-1,1})=1$$

という結果を使って、 $\nu_{n-1,1}+1$ の近くの零点として探すか、 それとも

$$\nu_{n-1,1}<\nu_{n,1}<\nu_{n-1,2}$$

を使って、 $\nu_{n-1,1}$ と $\nu_{n-1,1}$ の真中、 大体 $\nu_{n-1,1}+\pi/2$ の近くの零点として探すか。

$\nu_{n+1,1}-\nu_{n,1}$ はどれくらいか？
ListPlot[Table[Jroot[n,1]-Jroot[n-1,1],{n,100}]]

$\nu_{n-1,1}+1$ くらいで良いのかな？ 後は FindRoot[] の仕様を調べないと。