B..2 変形 Bessel 関数

$\displaystyle y''+\frac{1}{x}y'-\left(1+\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0
$

を変形 Bessel の微分方程式と呼ぶ。

$ x=i x'$ と変数変換すると通常の Bessel の微分方程式が得られる。 これから $ J_\nu(i x)$ , $ Y_{\nu}(ix)$ が解の基本系になるが、 これは分かりづらいので、

$\displaystyle I_\nu(x):=
\left(\frac{x}{2}\right)^{nu}
\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{m!\mathit{\Gamma}(\nu+m+1)}
\left(\frac{x}{2}\right)^{2m},
$

$\displaystyle K_\nu(x):=\frac{2}{\pi}
\lim_{\alpha\to\nu}
\frac{I_{-\alpha}(x)-I_\alpha(x)}
{\sin\alpha\pi}
$

とおくと、 $ I_\nu(x)$ , $ K_\nu(x)$ が解の基本系になる。 このうち $ x=0$ で連続な解を与えるのは $ I_\nu(x)$ の方だけである。

なお、

$\displaystyle I_\nu(x)=\exp\left(-\frac{1}{2}\nu\pi i\right)
J_\nu(i x)
$

という関係がある。

なお、

$\displaystyle y''+\frac{1}{x}y'-\left(k^2+\frac{\nu^2}{x^2}\right)y=0
$

の一般解は (通常の Bessel の微分方程式と同様に)

$\displaystyle y=A I_\nu(k x)+B K_\nu(k x).
$

桂田 祐史
2017-11-20