4.2.1 有界区間の場合

$(a,b)$ が有界区間の場合は、

$$I=\int_a^b f(x)\;\Dx$$

は

$$x=a+\frac{b-a}{2}(u+1),\quad u\in (-1,1)$$

という1次関数により、

$$I=\int_{-1}^1 F(u)\;\D u,\quad F(u):=f\left(a+\frac{b-a}{2}(u+1)\right)\frac{b-a}{2}$$

と変数変換されるので、以下は $\dsp\int_{-1}^1 f(x)\;\Dx$ の場合のみ考える。

$$\varphi_1(t):=\tanh\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right) t\in\mathbb{R}$$ (28)

が条件を満たす。