E.1.3.0.1 例題8-2

van der Pol^E.3 の方程式 $x''+\mu(x^2-1)x'+x=0$ ($\mu$ は正定数)を一階に直して出来る力学系

$$\frac{d}{dt}{x \choose y}={y\choose -x + \mu(1 - x^2)y} \leqno{(3)}$$

の流れの様子を $-5\le x,y\le 5$ の範囲で描きなさい。

上の例題と同様にreidai8b.fというプログラムと rei8b.data というサンプル・データを用意してあります。それを使って描いた図が

です。原点を回っている一つの閉軌道が目につきますが、特徴的なのは、その 付近の軌道が、閉軌道にまつわりついて行っていることです。描画中の図を眺 めていると分かりますが、どこからスタートしても速やかに閉軌道に近付いて いきます。この種の閉軌道(サイクル)のことをリミット・サイクル (極限閉軌道、limit cycle)と呼びます。

時間が経つと、はるか彼方に飛んでいってしまうような現象は別にして、時 間によって変化する現象のうちの多くのものは長い時間が経つと、ある停止状 態に落ち着くか（沈点）、周期運動（極限閉軌道）に落ち着きます。2次元の 常微分方程式という簡単なモデルで、そういう現象を見ることが出来たわけで す。