8.6 久保田祥史『S-W近似によって様々な領域の熱方程式を解く』

2006年度の金子君は、 参考に出来るものがほとんどない状態で一定の成果をあげたが、 見通しのよいものでなかったので、 久保田君はまずはそこを整理するところから始める必要があった。 決して大きな一歩とは言えないが、着実な前進が出来たと評価したい。

問題とする領域 $\Omega$ に対して、

$$\Omega\subset D:=[$$xmin$$,$$xmax$$] \times[$$ymin$$,$$ymax$$]$$

と仮定し、$D$ を等間隔格子で分割する。

条件

$$F(x,y) \left\{ \begin{array}{ll} >0 & \mbox{($(x,y)\in\Omega$)... ...\\ <0 & \mbox{($(x,y)\in D\setminus\overline{\Omega}$)} \end{array} \right.$$

を満たす関数 $F\colon D\to\R$ を用意し、 これをプログラム中に組み込むことによって、領域 $\Omega$ を指定する。

また 4つの関数 $E\colon \Omega\to\R$ , $W\colon \Omega\to\R$ , $S\colon \Omega\to\R$ , $N\colon \Omega\to\R$ を次のように定義する (東西南北 (east-west-south-north) から命名したのだろう)。

• $E(x,y)$ は、 $(E(x,y),y)$ が $(x,y)$ の右側にあるもっとも近い境界点である。
• $W(x,y)$ は、 $(W(x,y),y)$ が $(x,y)$ の左側にあるもっとも近い境界点である。
• $S(x,y)$ は、 $(x,S(x,y))$ が $(x,y)$ の下側にあるもっとも近い境界点である。
• $W(x,y)$ は、 $(x,N(x,y))$ が $(x,y)$ の上側にあるもっとも近い境界点である。

(数学的には、条件を満たす $F$ が1つ与えられれば、 $E$ , $W$ , $S$ , $N$ は決まってしまうわけだが、 具体的にどう計算するかは決して自明でないので、 プログラム中で別途与えることにしたわけである。)

-- こうして、ほぼ F(), E(), W(), S(), N() と いう5つの関数を用意するだけで、 新しい問題が解けるようになるのは非常に面白いのみならず、 実用面でも大きな期待が持てるものである。 特にトポロジーが長方形領域と異なる領域の問題を解くプログラムがすいすい書 けるのは、正直新鮮な驚きであった。

レポートは http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/open/2007-kubota.pdfで、プログラムも http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/open/2007-kubota-prog.lzhで公開中である。