一様な棒が振動するとき、変位 は、適当な単位を選択した場合、 微分方程式
に従う。 この方程式の初期値境界値問題の研究をテーマとした。 これは波動方程式に少し似ていて、 有名な Cournat-Hilbert にも取り上げられている。
境界条件としては次のいずれかを考える。
(1) |
(2) |
(3) |
これらは「対称性の条件」を満たしていることが分かる。例えば、 が固定境界条件
を満たしているのならば、
が成り立つ。ここで微分作用素 と内積 は、
で定義されるものとする。 これから、固有値が実数であることと、 異なる固有関数に属する固有関数が互いに直交することが分かる。
(a) の場合の固有値は、方程式
の正の解である。それを大きさの順に
と並べたとき、 ( ). 固有値 に属する固有関数は
である。
(b) の場合の固有値は ( ) であり、それに属する固有関数は
である。
(c) の場合の固有値は、方程式
の正の解である。それを大きさの順に
と並べたとき、 ( ). 固有値 に属する固有関数は